В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Одна из них длиной 10 расположена на расстоянии 3 от центра окружности. Какова длина другой хорды, которая находится на расстоянии 4 от центра?

Геометрия 8 класс Хорды окружности геометрия 8 класс окружность перпендикулярные хорды длина хорды расстояние от центра задачи по геометрии Новый

Чтобы найти длину второй хорды, давайте сначала вспомним некоторые свойства окружности и хорды.

Пусть O - центр окружности, а A и B - концы первой хорды, которая длиной 10. Так как хорды перпендикулярны, мы можем использовать прямоугольный треугольник для нахождения радиуса окружности.

Рассмотрим первую хорду:

• Длина хорды AB = 10.
• Расстояние от центра окружности O до хорды AB равно 3.

Мы можем провести перпендикуляр из центра окружности O к хорде AB. Этот перпендикуляр будет делить хорду пополам, так что:

• Длина отрезка OA = OB = 10 / 2 = 5.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник OAM, где M - точка пересечения перпендикуляра с хордой AB. В этом треугольнике:

• OM = 3 (расстояние от центра до хорды),
• AM = 5 (половина длины хорды).

Теперь мы можем найти радиус окружности, используя теорему Пифагора:

• OA^2 = OM^2 + AM^2.
• OA^2 = 3^2 + 5^2.
• OA^2 = 9 + 25 = 34.
• OA = √34.

Теперь мы знаем, что радиус окружности R = √34.

Теперь перейдем ко второй хорде, которая находится на расстоянии 4 от центра окружности. Обозначим длину этой хорды как CD. Мы также проведем перпендикуляр из центра O на хорду CD и обозначим точку пересечения как N. Тогда:

• ON = 4 (расстояние от центра до хорды),
• CN = DN = x (половина длины хорды CD).

Теперь можем снова использовать теорему Пифагора в треугольнике OCN:

• OC^2 = ON^2 + CN^2.
• OC^2 = 4^2 + x^2.
• OC^2 = 16 + x^2.

Так как OC = OA = √34, можем подставить:

• 34 = 16 + x^2.
• x^2 = 34 - 16.
• x^2 = 18.
• x = √18 = 3√2.

Теперь найдем длину хорды CD:

• Длина хорды CD = 2 * CN = 2x = 2 * 3√2 = 6√2.

Таким образом, длина второй хорды составляет 6√2.