В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C является прямым, угол A составляет 60 градусов. Каковы длины всех сторон треугольника, если катет, противолежащий углу A, равен 16 см?

Геометрия 8 класс Треугольники прямоугольный треугольник угол A 60 градусов длины сторон треугольника катет 16 см угол C прямой Тригонометрия решение задачи по геометрии Новый

В данном задании нам необходимо найти длины всех сторон прямоугольного треугольника ABC, где угол C является прямым, угол A равен 60 градусам, а катет, противолежащий углу A, равен 16 см.

Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом:

• Сторона, противолежащая углу A (катет a) = 16 см
• Сторона, противолежащая углу B (катет b)
• Гипотенуза (c)

В прямоугольном треугольнике мы можем использовать соотношения между сторонами и углами. Поскольку угол A равен 60 градусам, мы можем использовать следующие тригонометрические функции:

1. Синус: sin(A) = противолежащий катет / гипотенуза
2. Косинус: cos(A) = прилежащий катет / гипотенуза
3. Тангенс: tan(A) = противолежащий катет / прилежащий катет

1. Найдем гипотенузу (c) с помощью синуса:

sin(60°) = противолежащий катет / гипотенуза

sin(60°) = 16 / c

Зная, что sin(60°) = √3/2, подставляем:

√3/2 = 16 / c

Теперь выразим c:

c = 16 * 2 / √3

c = 32 / √3

Для удобства можем умножить числитель и знаменатель на √3:

c = (32√3) / 3 см

2. Теперь найдем второй катет (b) с помощью тангенса:

tan(60°) = противолежащий катет / прилежащий катет

tan(60°) = 16 / b

Зная, что tan(60°) = √3, подставляем:

√3 = 16 / b

Теперь выразим b:

b = 16 / √3

Также умножим числитель и знаменатель на √3:

b = (16√3) / 3 см

Таким образом, мы нашли все стороны треугольника:

• Катет a (противолежащий углу A) = 16 см
• Катет b (противолежащий углу B) = (16√3) / 3 см
• Гипотенуза c = (32√3) / 3 см

В итоге, длины всех сторон треугольника ABC составляют:

• Катет a = 16 см
• Катет b = (16√3) / 3 см
• Гипотенуза c = (32√3) / 3 см