В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 3√13, а один из катетов AC составляет 3. Какова длина медианы AN?

Геометрия 8 класс Медианы и их свойства в треугольниках прямоугольный треугольник гипотенуза катет длина медианы геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти длину медианы AN в прямоугольном треугольнике ABC, нам нужно сначала определить длину второго катета BC. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

c² = a² + b²

где c — гипотенуза, а a и b — катеты. В нашем случае:

• Гипотенуза AB = 3√13
• Катет AC = 3
• Катет BC = ?

Подставляем известные значения в формулу:

(3√13)² = 3² + BC²

Теперь вычислим:

• (3√13)² = 9 * 13 = 117
• 3² = 9

Подставляем в уравнение:

117 = 9 + BC²

Теперь вычтем 9 из обеих сторон:

117 - 9 = BC²

108 = BC²

Теперь найдем BC, взяв квадратный корень:

BC = √108 = √(36*3) = 6√3

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника, можем найти длину медианы AN. Медиана в треугольнике делит сторону, к которой она проведена, пополам. Мы будем использовать формулу для нахождения длины медианы:

m = 1/2 * √(2a² + 2b² - c²)

где m — длина медианы, a и b — длины катетов, c — длина стороны, к которой проведена медиана. В нашем случае:

• a = AC = 3
• b = BC = 6√3
• c = AB = 3√13

Подставляем значения в формулу:

AN = 1/2 * √(2*(3)² + 2*(6√3)² - (3√13)²)

Теперь вычислим каждую часть:

• 2*(3)² = 2*9 = 18
• 2*(6√3)² = 2*(36*3) = 216
• (3√13)² = 117

Теперь подставим эти значения:

AN = 1/2 * √(18 + 216 - 117)

Сложим и вычтем:

AN = 1/2 * √(117)

Теперь упростим:

AN = 1/2 * 3√13

Таким образом, длина медианы AN равна:

AN = (3/2)√13