В прямоугольном треугольнике ABC известны следующие данные: BC = 12 см и угол ABC равен 30°. На гипотенузе AB расположена точка K. Из точки K проведены перпендикуляры KM и KP на катеты AC и BC соответственно. Как можно доказать, что отрезок MB больше 6 см?

Геометрия 8 класс Треугольники и их свойства прямоугольный треугольник ABC угол ABC 30 градусов отрезок MB точка K перпендикуляры KM KP катеты AC BC доказательство длины отрезка Новый

Чтобы доказать, что отрезок MB больше 6 см, начнем с анализа данного прямоугольного треугольника ABC.

В треугольнике ABC:

• BC = 12 см (катет),
• угол ABC = 30°.

Сначала найдем длину другого катета AC. В прямоугольном треугольнике с углом 30° известно, что отношение длин катетов выглядит следующим образом:

• противолежащий катет (AC) = 1/2 гипотенузы (AB),
• прилежащий катет (BC) = AC * √3.

Так как BC = 12 см, мы можем использовать это соотношение:

AC = BC / √3 = 12 / √3 = 4√3 см.

Теперь, чтобы найти гипотенузу AB, воспользуемся теоремой Пифагора:

AB² = AC² + BC².

Подставим значения:

• AC² = (4√3)² = 48 см²,
• BC² = 12² = 144 см².

Тогда:

AB² = 48 + 144 = 192 см².

Следовательно, AB = √192 = 8√3 см.

Теперь рассмотрим точку K на гипотенузе AB. Из точки K проведены перпендикуляры KM и KP на катеты AC и BC соответственно.

По свойству перпендикуляров, отрезки KM и KP являются высотами треугольника ABC, проведенными из точки K. Поскольку угол ABC равен 30°, высота KP, проведенная из K на BC, будет равна:

KP = AC * sin(30°) = 4√3 * 1/2 = 2√3 см.

Теперь, чтобы найти MB, мы воспользуемся тем, что отрезок MB равен разности между длиной катета BC и длиной отрезка KP:

MB = BC - KP = 12 см - 2√3 см.

Теперь нам нужно показать, что MB > 6 см:

Сравним 12 - 2√3 с 6:

12 - 2√3 > 6 <=> 12 - 6 > 2√3 <=> 6 > 2√3.

Теперь вычислим 2√3:

√3 примерно равно 1.732, следовательно, 2√3 примерно равно 3.464.

Сравнив 6 и 3.464, мы видим, что 6 > 3.464. Таким образом, MB действительно больше 6 см.

Итак, мы доказали, что отрезок MB больше 6 см.