В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C вписана окружность радиусом 2 см. Сумма катетов составляет 14 см. Какие длины сторон AB и площадь треугольника ABC?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники и их свойства прямоугольный треугольник радиус окружности сумма катетов длины сторон площадь треугольника треугольник ABC геометрия 8 класс Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C у нас есть следующие данные:

• Радиус вписанной окружности (r) равен 2 см.
• Сумма катетов (a + b) равна 14 см.

Сначала вспомним формулу для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

r = (a + b - c) / 2,

где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Подставим известные значения:

2 = (a + b - c) / 2.

Умножим обе стороны на 2:

4 = a + b - c.

Теперь из условия задачи мы знаем, что a + b = 14. Подставим это значение в уравнение:

4 = 14 - c.

Теперь найдем c:

c = 14 - 4 = 10 см.

Теперь у нас есть гипотенуза c, равная 10 см. Теперь нам нужно найти длины катетов a и b. Мы знаем, что:

a + b = 14.

Также в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

a² + b² = c².

Подставим значение c:

a² + b² = 10² = 100.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + b = 14
2. a² + b² = 100

Решим первое уравнение относительно b:

b = 14 - a.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

a² + (14 - a)² = 100.

Раскроем скобки:

a² + (196 - 28a + a²) = 100.

Соберем все в одно уравнение:

2a² - 28a + 196 - 100 = 0.

2a² - 28a + 96 = 0.

Теперь упростим уравнение, разделив на 2:

a² - 14a + 48 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-14)² - 4 * 1 * 48 = 196 - 192 = 4.

Теперь найдем корни уравнения:

a = (14 ± √D) / 2 = (14 ± 2) / 2.

Это дает нам два значения:

• a = (14 + 2) / 2 = 8 см.
• a = (14 - 2) / 2 = 6 см.

Следовательно, катеты a и b равны 8 см и 6 см соответственно. Теперь мы можем найти длину гипотенузы:

c = 10 см.

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (a * b) / 2.

Подставим значения катетов:

Площадь = (8 * 6) / 2 = 48 / 2 = 24 см².

Итак, мы нашли все необходимые значения:

• Длина гипотенузы AB = 10 см.
• Площадь треугольника ABC = 24 см².