В прямоугольном треугольнике АВС, где гипотенуза АС, внешний угол при вершине А равен 120 градусам, а длина стороны АВ составляет 5 см. Какова длина гипотенузы этого треугольника?

Геометрия 8 класс Треугольники прямоугольный треугольник гипотенуза угол 120 градусов длина стороны геометрия 8 класс Новый

Для решения задачи начнем с анализа данных, которые нам даны:

• Треугольник ABC является прямоугольным, где угол C равен 90 градусам.
• Внешний угол при вершине A равен 120 градусам.
• Длина стороны AB составляет 5 см.

Теперь давайте вспомним, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае, угол A (внутренний) и угол B (внутренний) составляют внешний угол при вершине A:

120 градусов = угол A + угол B

Так как треугольник ABC прямоугольный, то сумма углов A и B будет равна 90 градусам:

угол A + угол B = 90 градусов

Теперь мы можем выразить угол A через угол B:

угол A = 90 градусов - угол B

Подставим это выражение во второе уравнение:

120 градусов = (90 градусов - угол B) + угол B

Упрощая, получаем:

120 градусов = 90 градусов

Это уравнение не имеет смысла, поэтому давайте пересмотрим, что мы знаем о внешнем угле. Внешний угол 120 градусов означает, что угол A составляет:

угол A = 120 градусов - 90 градусов = 30 градусов

Теперь мы знаем, что угол A равен 30 градусам, а угол C равен 90 градусам. Следовательно, угол B равен:

угол B = 90 градусов - угол A = 90 градусов - 30 градусов = 60 градусов

Теперь у нас есть все углы треугольника:

• угол A = 30 градусов
• угол B = 60 градусов
• угол C = 90 градусов

Теперь мы можем использовать свойства треугольника 30-60-90. В таком треугольнике длины сторон относятся как:

• Сторона, против угла 30 градусов (AB) = x
• Сторона, против угла 60 градусов (BC) = x√3
• Гипотенуза (AC) = 2x

В нашем случае AB = 5 см, что соответствует стороне, против угла 30 градусов. Таким образом, мы можем обозначить:

x = 5 см

Теперь найдем длину гипотенузы AC:

Гипотенуза AC = 2x = 2 * 5 см = 10 см

Ответ: Длина гипотенузы AC составляет 10 см.