Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам. Высота CD проведена из вершины C на гипотенузу AB. Нам даны следующие данные:

• BD = CD + 4 см
• AD = 9 см

Сначала обозначим длины отрезков:

• CD = x см
• BD = x + 4 см

Теперь найдем длину отрезка AB. Поскольку AD + DB = AB, мы можем выразить AB через AD и BD:

• AB = AD + BD = 9 см + (x + 4 см) = 13 см + x см

Теперь мы можем использовать теорему о высоте в прямоугольном треугольнике. В прямоугольном треугольнике площадь можно выразить несколькими способами:

• Площадь через основание и высоту: P = 1/2 * AB * CD
• Площадь через стороны треугольника: P = 1/2 * AC * BC

Также, по теореме о высоте, у нас есть соотношение:

• CD^2 = AD * BD

Подставим известные значения:

• x^2 = 9 * (x + 4)

Раскроем скобки:

• x^2 = 9x + 36

Переносим все в одну сторону:

• x^2 - 9x - 36 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * (-36) = 81 + 144 = 225

Теперь найдем корни уравнения:

• x = (9 ± √225) / 2 = (9 ± 15) / 2
• x1 = (24) / 2 = 12 см
• x2 = (-6) / 2 = -3 см (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Таким образом, CD = 12 см. Теперь найдем BD:

• BD = CD + 4 = 12 + 4 = 16 см

Теперь мы можем найти AB:

• AB = AD + BD = 9 + 16 = 25 см

Теперь у нас есть все необходимые стороны:

• CD = 12 см
• BD = 16 см
• AB = 25 см

Теперь о соотношении высоты CD и площади треугольника ABC:

Площадь треугольника ABC можно найти, используя высоту CD:

• P = 1/2 * AB * CD = 1/2 * 25 * 12 = 150 см²

Мы можем также выразить площадь через стороны AC и BC, но для этого нам нужно будет использовать теорему Пифагора, чтобы найти их. Однако, высота делит треугольник на два меньших треугольника, и соотношение площадей этих треугольников будет равно соотношению оснований, то есть AD и BD.

Таким образом, высота CD делит треугольник ABC на два меньших треугольника, и их площади будут пропорциональны длинам отрезков AD и BD.

В итоге, стороны треугольника ABC равны:

• AC = 12 см (можно найти через Пифагора)
• BC = 16 см (также можно найти через Пифагора)
• AB = 25 см