В прямоугольном треугольнике биссектрисa прямого угла делит гипотенузу на отрезки 20 см и 15 см. Какой периметр этого треугольника?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники и их свойства прямоугольный треугольник биссектрисa гипотенуза отрезки периметр геометрия 8 класс задача решение длина сторон свойства треугольника математические вычисления Теорема Пифагора Новый

Для решения задачи о периметре прямоугольного треугольника, давайте обозначим вершины треугольника. Пусть A — это вершина прямого угла, B и C — это вершины, которые образуют прямой угол с вершиной A. Гипотенуза в этом треугольнике — это отрезок BC.

Дано, что биссектрисa прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 20 см и 15 см. Обозначим точку, где биссектрисa пересекает гипотенузу, как M. Таким образом, отрезок BM равен 20 см, а отрезок MC равен 15 см.

По свойству биссектрисы в прямоугольном треугольнике можно использовать соотношение:

• АМ / МС = АВ / АС

Подставим известные значения:

• АМ / МС = 20 / 15.

Это соотношение показывает, что:

• АВ = 20x
• АС = 15x

Теперь найдем длину гипотенузы BC. Мы знаем, что:

• BC = BM + MC = 20 см + 15 см = 35 см.

Итак, мы имеем:

• АВ = 20x,
• АС = 15x,
• BC = 35.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

• (20x)^2 + (15x)^2 = (35)^2.

Решая это уравнение, мы получаем:

• 400x^2 + 225x^2 = 1225.
• 625x^2 = 1225.
• x^2 = 1225 / 625.
• x^2 = 1.96.
• x = √1.96 = 1.4.

Теперь подставим значение x обратно, чтобы найти длины катетов:

• АВ = 20 * 1.4 = 28 см,
• АС = 15 * 1.4 = 21 см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника, сложив все стороны:

• Периметр P = АВ + АС + BC = 28 см + 21 см + 35 см.

Таким образом, периметр треугольника равен:

• P = 84 см.

Итак, ответ: периметр данного прямоугольного треугольника составляет 84 см.