В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20, а медиана, проведенная к гипотенузе, разделяет треугольник на два меньших треугольника с периметрами 24 и 32. Каковы длины катетов этого треугольника?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники и их свойства прямоугольный треугольник гипотенуза 20 медиана периметры 24 и 32 длины катетов Новый

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, давайте обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c. В нашем случае c = 20.

Мы знаем, что медиана, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на два равных отрезка. Длина медианы к гипотенузе в прямоугольном треугольнике вычисляется по формуле:

m = (1/2) * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2)

Так как c = 20, медиана m будет равна:

m = (1/2) * sqrt(2a^2 + 2b^2 - 20^2)

Теперь, поскольку медиана делит треугольник на два меньших треугольника, мы имеем два периметра: P1 = 24 и P2 = 32.

Периметр первого треугольника (где одна сторона - a, другая - половина гипотенузы, то есть 10):

• P1 = a + 10 + m = 24

Периметр второго треугольника (где одна сторона - b, другая - половина гипотенузы, то есть 10):

• P2 = b + 10 + m = 32

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + 10 + m = 24
2. b + 10 + m = 32

Из первого уравнения выразим a:

• a = 24 - 10 - m = 14 - m

Из второго уравнения выразим b:

• b = 32 - 10 - m = 22 - m

Теперь подставим a и b в теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2

(14 - m)^2 + (22 - m)^2 = 20^2

Раскроем скобки:

• (14 - m)^2 = 196 - 28m + m^2
• (22 - m)^2 = 484 - 44m + m^2

Теперь сложим эти выражения:

196 - 28m + m^2 + 484 - 44m + m^2 = 400

2m^2 - 72m + 680 = 400

2m^2 - 72m + 280 = 0

m^2 - 36m + 140 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-36)^2 - 4 * 1 * 140 = 1296 - 560 = 736

Теперь найдем корни уравнения:

m = (36 ± sqrt(736)) / 2

Теперь, найдя значение m, подставим его в выражения для a и b:

• Если m = 28, то a = 14 - 28 = -14 (не подходит)
• Если m = 8, то a = 14 - 8 = 6, b = 22 - 8 = 14

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны:

a = 6 и b = 14.