В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 12 см, а угол, который противолежит этому катету, равен 60 градусам. Как можно определить длину высоты, проведенной к гипотенузе?

Геометрия 8 класс Высота в прямоугольном треугольнике прямоугольный треугольник катет высота гипотенуза угол 60 градусов длина высоты геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти длину высоты, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, мы можем воспользоваться несколькими шагами. Давайте разберем их по порядку.

1. Определить длину гипотенузы. Мы знаем, что один из катетов (длина 12 см) противолежит углу в 60 градусов. Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения гипотенузы. В данном случае, мы используем синус:
• Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
• sin(60°) = противолежащий катет / гипотенуза.
• Подставим известные значения:
• sin(60°) = 12 / гипотенуза.
• Зная, что sin(60°) = √3/2, мы можем записать уравнение:
• √3/2 = 12 / гипотенуза.
• Теперь решим это уравнение для нахождения гипотенузы:
• гипотенуза = 12 * 2 / √3 = 24 / √3.
• Умножим и разделим на √3, чтобы избавиться от корня в знаменателе:
• гипотенуза = (24√3) / 3 = 8√3 см.
2. Определить длину высоты, проведенной к гипотенузе. Теперь мы можем использовать формулу для нахождения высоты:
• Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:
• 1) Через катеты: P = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 12 * h.
• 2) Через гипотенузу и высоту: P = (1/2) * гипотенуза * высота к гипотенузе = (1/2) * (8√3) * h.
• Поскольку площади равны, мы можем приравнять оба выражения:
• (1/2) * 12 * h = (1/2) * (8√3) * h.
• Упрощая, мы можем избавиться от (1/2) и h (при условии, что h не равно 0):
• 12 = 8√3.
• Теперь решим это уравнение для h:
• h = 12 / (8√3) = 3 / (2√3).
• Умножим и разделим на √3, чтобы избавиться от корня в знаменателе:
• h = (3√3) / 6 = √3 / 2 см.

Таким образом, длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна √3 / 2 см.