В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB равна 7, а основание AC равно 4. На стороне AB выбрана точка D, так что треугольник ACD подобен треугольнику ABC, и D не совпадает с A и не совпадает с B. Каково отношение площади треугольника ABC к площади треугольника ACD?

Геометрия 8 класс Подобие треугольников равнобедренный треугольник площадь треугольника подобие треугольников отношение площадей геометрия 8 класс Новый

Для решения этой задачи начнем с анализа треугольника ABC и треугольника ACD, который подобен треугольнику ABC.

1. **Определим стороны треугольника ABC**:

• Боковая сторона AB = 7
• Основание AC = 4
• Сторона BC также равна 7, так как треугольник равнобедренный.

2. **Выразим площади треугольников**:

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона или через основание и высоту. Однако в данном случае мы воспользуемся тем, что треугольники ACD и ABC подобны.

3. **Определим коэффициент подобия**:

Пусть k - коэффициент подобия треугольника ACD к треугольнику ABC. Так как треугольники подобны, то:

• Сторона AC в треугольнике ACD равна 4k.
• Сторона AB в треугольнике ACD равна 7k.

4. **Найдем отношение площадей**:

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

Площадь треугольника ABC = S(ABC), площадь треугольника ACD = S(ACD).

Тогда:

Отношение площадей S(ABC) / S(ACD) = (1 / k^2).

5. **Найдем k**:

Согласно условию, основание AC в треугольнике ACD равно 4k, и мы знаем, что основание AC в треугольнике ABC равно 4. Следовательно:

4k = 4, откуда k = 1.

6. **Подсчитаем площади**:

Поскольку D не совпадает с A и B, k будет меньше 1. Например, если D делит AB в отношении m:n, то:

• ACD будет меньше, чем ABC, и k = AC / AB = 4 / 7.

7. **Итоговое отношение площадей**:

Таким образом, получаем:

Отношение площадей S(ABC) / S(ACD) = (1 / (4 / 7)^2) = (7^2 / 4^2) = 49 / 16.

Ответ: отношение площади треугольника ABC к площади треугольника ACD равно 49 к 16.