Для того чтобы доказать, что BM равно BK в равнобедренном треугольнике ABC, где AB = BC, проведем высоты AM и CK, и воспользуемся свойствами треугольников.

Первое, что мы сделаем, это рассмотрим треугольники AKM и AMC. Обозначим:

• AM - высота, проведенная из вершины A,
• CK - высота, проведенная из вершины C.

Теперь мы можем проанализировать эти треугольники:

1. Сторона AC является общей стороной для треугольников AKM и AMC.
2. Угол BAC равен углу BCA, поскольку треугольник ABC равнобедренный (AB = BC).
3. Таким образом, у нас есть два угла и одна общая сторона, что позволяет нам утверждать, что треугольники AKM и AMC равны по признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними).

Следовательно, из равенства этих треугольников следует, что:

AK = MC.

Теперь давайте выразим отрезки BK и BM:

• BK = BA - AK.
• BM = BC - MC.

Так как AB = BC по условию задачи, и мы установили, что AK = MC, мы можем подставить:

• BK = AB - AK,
• BM = BC - MC.

Теперь подставим AK = MC в выражение для BM:

• BM = BC - AK.

Теперь, поскольку AB = BC и AK = MC, у нас получается:

BK = AB - AK = BC - MC = BM.

Таким образом, мы приходим к выводу, что:

BM = BK.

Это и требовалось доказать. Мы показали, что отрезки BM и BK равны, используя свойства равнобедренного треугольника и равенство треугольников.