Чтобы найти высоту, проведённую к основанию равнобедренного треугольника, где боковая сторона равна 40 см, а угол противостоящий основанию составляет 120 градусов, следуем следующим шагам:

1. Определим элементы треугольника:
   • Обозначим треугольник ABC, где AB = AC = 40 см (боковые стороны),угол A = 120 градусов (угол противостоящий основанию BC).
   • Основание BC обозначим как b.
   • Проведем высоту AH из вершины A к основанию BC.
2. Разделим треугольник на два равных прямоугольных треугольника:
   • Проведем высоту AH, которая делит угол A на два угла по 60 градусов (поскольку 120 градусов делится пополам).
   • Тогда в каждом из образовавшихся треугольников (например, треугольник ABH) угол AHB = 90 градусов и угол A = 60 градусов.
3. Используем тригонометрию для нахождения высоты AH:
   • В треугольнике ABH, где AB = 40 см и угол A = 60 градусов, можем использовать синус:
   • sin(60) = AH / AB, откуда AH = AB * sin(60).
   • Зная, что sin(60) = √3 / 2, подставляем значение:
   • AH = 40 * (√3 / 2) = 20√3 см.
4. Подсчитаем значение:
   • Приблизительно √3 ≈ 1.732, следовательно, AH ≈ 20 * 1.732 = 34.64 см.

Таким образом, высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, составляет примерно 34.64 см.