В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке O. Каковы градусные меры острых углов треугольника AOB, если длина диагонали BD равна 10 см, а площадь ромба составляет 50√3 см в квадрате?

Геометрия 8 класс Ромб и его свойства ромб ABCD диагонали ромба треугольник AOB градусные меры углов площадь ромба длина диагонали BD острые углы треугольника Новый

Для решения задачи начнем с определения свойств ромба и его диагоналей.

В ромбе ABCD диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Обозначим длины диагоналей как AC и BD. Из условия нам известна длина диагонали BD, которая равна 10 см. Так как диагонали пересекаются в точке O, то AO = OC и BO = OD. Поскольку BD = 10 см, то:

• BO = OD = 10 см / 2 = 5 см.

Теперь, чтобы найти длину диагонали AC, воспользуемся формулой для площади ромба:

Площадь ромба можно выразить через длины его диагоналей:

Площадь = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - длины диагоналей.

В нашем случае:

• Площадь = (AC * BD) / 2 = 50√3 см².
• Подставим известное значение BD:
• (AC * 10) / 2 = 50√3.
• Умножим обе стороны уравнения на 2:
• AC * 10 = 100√3.
• Теперь разделим обе стороны на 10:
• AC = 10√3 см.

Теперь у нас есть длины обеих диагоналей:

• BD = 10 см
• AC = 10√3 см

Теперь найдем углы треугольника AOB. В этом треугольнике AO и BO являются половинами диагоналей. Мы знаем:

• AO = AC / 2 = (10√3) / 2 = 5√3 см.
• BO = 5 см.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения угла AOB. Мы можем использовать тангенс угла:

tan(AOB) = противолежащий катет / прилежащий катет = AO / BO.

Подставим значения:

tan(AOB) = (5√3) / 5 = √3.

Теперь найдем угол AOB, используя обратную функцию тангенса:

Угол AOB равен 60 градусов, так как tan(60) = √3.

Поскольку треугольник AOB является равнобедренным (AO = OC и BO = OD), то угол OAB также равен 60 градусов.

Таким образом, острые углы треугольника AOB равны:

• Угол AOB = 60 градусов.
• Угол OAB = 60 градусов.

Ответ: острые углы треугольника AOB равны 60 градусов.