Для решения этой задачи нам нужно найти длину отрезка BH, где H - это основание высоты AH, проведенной из вершины A к стороне BC. Мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника, чтобы найти высоту AH, а затем определить расстояние BH.

1. Сначала найдем площадь треугольника ABC. Для этого мы можем использовать формулу Герона. Для начала найдем полупериметр треугольника:

• Периметр треугольника ABC равен AB + AC + BC = 5 см + 6 см + 7 см = 18 см.
• Полупериметр (s) равен P/2 = 18 см / 2 = 9 см.

2. Теперь применим формулу Герона для нахождения площади (S) треугольника:

• s - AB = 9 см - 5 см = 4 см
• s - AC = 9 см - 6 см = 3 см
• s - BC = 9 см - 7 см = 2 см

Подставляем значения в формулу:

Теперь посчитаем:

• 9 * 4 = 36
• 36 * 3 = 108
• 108 * 2 = 216

Таким образом, S = √216 = 6√6 см² (это можно оставить в корне, или приблизительно 14.7 см²).

3. Теперь найдем высоту AH, используя формулу площади треугольника:

Подставим известные значения:

Умножим обе стороны на 2:

Теперь выразим AH:

4. Теперь, чтобы найти расстояние BH, нам нужно использовать теорему Пифагора в треугольнике ABH. Мы знаем, что:

Подставим известные значения:

• AB = 5 см
• AH = 12√6 / 7 см

Тогда:

Посчитаем:

• 25 = (144 * 6) / 49 + BH²
• 25 = 864 / 49 + BH²

Теперь выразим BH²:

Для удобства, преобразуем 25:

Теперь подставим:

Это дает:

Теперь находим BH:

Таким образом, расстояние между точками B и H равно 19/7 см или приблизительно 2.71 см.