В треугольнике ABC медиана AD составляет половину длины стороны BC. Как можно определить угол A треугольника ABC?

Геометрия 8 класс Треугольники и их свойства угол A треугольника ABC медиана AD длина стороны BC свойства треугольника геометрия 8 класс Новый

В данной задаче нам нужно определить угол A треугольника ABC, зная, что медиана AD равна половине длины стороны BC. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Понимание медианы

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В нашем случае AD — медиана, и D — середина отрезка BC. Это означает, что BD = DC.

Шаг 2: Запись известных данных

Пусть длина стороны BC равна x. Тогда, поскольку AD составляет половину длины BC, мы можем записать:

• AD = x / 2
• BD = DC = x / 2

Шаг 3: Применение теоремы о медиане

Существует формула для вычисления длины медианы в треугольнике, которая выглядит следующим образом:

AD² = (AB² + AC²) / 2 - (1/4) * BC²

Поскольку мы знаем, что AD = x / 2, подставим это значение в формулу:

(x / 2)² = (AB² + AC²) / 2 - (1/4) * x²

Шаг 4: Упрощение уравнения

Теперь упростим уравнение:

• (x² / 4) = (AB² + AC²) / 2 - (1/4) * x²
• Умножим все на 4, чтобы избавиться от дробей:
• x² = 2(AB² + AC²) - x²
• 2x² = 2(AB² + AC²)
• x² = AB² + AC²

Шаг 5: Использование косинусной теоремы

Теперь мы можем использовать косинусную теорему, которая гласит:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C),

где c — сторона, противолежащая углу C, a и b — другие стороны треугольника. В нашем случае:

• BC = x
• AB = c
• AC = b

Подставив в формулу, мы можем выразить угол A:

BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(A).

Шаг 6: Подстановка значений

Поскольку мы уже выяснили, что x² = AB² + AC², то можем подставить это в уравнение:

x² = x² - 2 * AB * AC * cos(A).

Это уравнение можно упростить, и, в конечном итоге, мы получим:

0 = -2 * AB * AC * cos(A).

Шаг 7: Вывод

Из этого уравнения следует, что cos(A) = 0, что означает, что угол A равен 90 градусам. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным, и угол A равен 90°.

Итак, мы пришли к выводу, что угол A треугольника ABC равен 90 градусов.