Чтобы найти минимальную высоту треугольника, мы сначала должны определить площадь треугольника, а затем использовать формулу для высоты, которая зависит от стороны, к которой проводится высота.

Для начала используем формулу Герона для нахождения площади треугольника. Формула Герона выглядит следующим образом:

• Сначала находим полупериметр треугольника: \( s = \frac{AB + AC + BC}{2} \)
• Затем используем формулу Герона: \( S = \sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - AC) \cdot (s - BC)} \)

Подставим значения:

1. Полупериметр: \( s = \frac{17 + 15 + 8}{2} = 20 \) см.
2. Площадь: \( S = \sqrt{20 \cdot (20 - 17) \cdot (20 - 15) \cdot (20 - 8)} \)
3. Вычисляем: \( S = \sqrt{20 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 12} = \sqrt{3600} = 60 \) кв. см.

Теперь, когда мы знаем площадь, можем найти высоты, проведенные к каждой из сторон. Формула для высоты \( h \) через площадь и основание выглядит так: \( h = \frac{2S}{a} \), где \( a \) — длина стороны, к которой проводится высота.

Вычислим высоты для каждой стороны:

1. Высота к стороне AB: \( h_{AB} = \frac{2 \cdot 60}{17} \approx 7.06 \) см.
2. Высота к стороне AC: \( h_{AC} = \frac{2 \cdot 60}{15} = 8 \) см.
3. Высота к стороне BC: \( h_{BC} = \frac{2 \cdot 60}{8} = 15 \) см.

Таким образом, минимальная высота, которую можно провести в данном треугольнике, составляет приблизительно 7.06 см, и она проведена к стороне AB.