В треугольнике ABC стороны AB и BC равны 8 и 5 соответственно, а тангенс угла A равен 8/15. Как можно вычислить длину стороны AC, если известно, что она равна 15?

Геометрия 8 класс Треугольники треугольник ABC стороны AB и BC тангенс угла A длина стороны AC вычисление стороны треугольника Новый

Чтобы найти длину стороны AC в треугольнике ABC, мы можем использовать данные о сторонах и углах, которые нам известны. Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определение угла A

У нас есть тангенс угла A, который равен 8/15. Это означает, что:

• Противолежащая сторона (BC) = 5
• Прилежащая сторона (AB) = 8

Таким образом, угол A можно найти с помощью функции арктангенса:

A = arctan(8/15).

Шаг 2: Применение теоремы косинусов

Теперь, когда мы знаем угол A и длины сторон AB и BC, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины стороны AC. Теорема косинусов гласит:

c² = a² + b² - 2ab * cos(A),

где:

• c - искомая сторона (AC),
• a - сторона AB (8),
• b - сторона BC (5),
• cos(A) - косинус угла A.

Шаг 3: Нахождение косинуса угла A

Для нахождения косинуса угла A, мы можем использовать соотношение:

cos²(A) + sin²(A) = 1.

Сначала найдем sin(A), используя тангенс:

sin(A) = 5 / sqrt(8² + 5²) = 5 / sqrt(64 + 25) = 5 / sqrt(89).

Теперь найдем cos(A):

cos(A) = 8 / sqrt(89).

Шаг 4: Подстановка значений в теорему косинусов

Теперь подставим все известные значения в формулу теоремы косинусов:

AC² = 8² + 5² - 2 * 8 * 5 * (8/sqrt(89)).

После подстановки и упрощения мы получим значение для AC², а затем извлечем корень, чтобы найти длину стороны AC.

Шаг 5: Проверка результата

Если вы знаете, что длина стороны AC равна 15, то вы можете проверить, удовлетворяет ли это уравнению, подставив AC = 15 в уравнение, полученное на шаге 4. Если уравнение выполняется, значит, все расчеты верны.

Таким образом, мы можем найти длину стороны AC, используя данные о тангенсе угла и длинах других сторон треугольника.