В треугольнике ABC углы BCA и ABC, прилежащие к стороне BC, равны 45 и 60 градусам соответственно. Сторона AC равна 8 см. Как можно определить длину стороны AB, которая находится напротив угла в 45 градусов, не прибегая к синусам и косинусам, так как треугольник не является прямоугольным?

Геометрия 8 класс Треугольники и их свойства длина стороны AB треугольник ABC углы треугольника геометрия 8 класс свойства треугольников вычисление сторон треугольника методы без синусов и косинусов Новый

Для решения данной задачи мы можем использовать свойства треугольников и теорему о сумме углов. Начнем с того, что в треугольнике ABC известны два угла: угол BCA равен 45 градусам, а угол ABC равен 60 градусам. Нам нужно найти угол CAB.

1. Найдем угол CAB:

   Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. Поэтому мы можем вычислить угол CAB следующим образом:

   Угол CAB = 180 - (угол BCA + угол ABC) = 180 - (45 + 60) = 180 - 105 = 75 градусов.

2. Обозначим стороны:

   Теперь обозначим стороны треугольника:

   • Сторона AC = 8 см (против угла ABC).
   • Сторона AB (против угла BCA) – это то, что мы ищем.
   • Сторона BC (против угла CAB).
3. Используем теорему о пропорциональности сторон и углов:

   В треугольнике ABC, согласно теореме о пропорциональности сторон и углов, мы можем записать соотношение:

   AB / sin(BCA) = AC / sin(CAB).

   Однако мы не будем использовать синусы, а воспользуемся другим методом.

4. Используем свойства треугольника:

   В нашем случае мы можем воспользоваться тем, что треугольник ABC можно разбить на два меньших треугольника, например, на треугольник ABE и треугольник BCE, где E – это проекция точки A на сторону BC. Угол BAE равен 60 градусам, а угол ABE равен 45 градусам.

   Таким образом, мы можем заметить, что треугольник ABE является 30-60-90 треугольником, где:

   • Угол ABE = 45 градусов.
   • Угол AEB = 30 градусов.
   • Угол EAB = 60 градусов.
5. Определяем длину стороны AB:

   Для треугольника ABE, где угол ABE равен 45 градусам, а сторона AC равна 8 см, мы можем использовать соотношение сторон:

   Сторона AB будет равна AC умножить на корень из 2, деленное на 2, потому что в 30-60-90 треугольнике стороны соотносятся как 1: √3: 2.

   Таким образом, AB = 8 см / √2 = 8√2 / 2 = 4√2 см.

Таким образом, длина стороны AB, находящейся напротив угла в 45 градусов, равна 4√2 см.