Для решения задачи начнем с анализа данных, которые нам даны:

• Угол AБC равен 120°.
• Стороны AB и BC равны, следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.
• BM – медиана, проведенная из вершины B к стороне AC.
• Угол BAF равен 90° и BF равен 36.

Теперь давайте разберемся с треугольником ABC. Поскольку AB = BC, то углы A и C равны, и мы можем обозначить их как α. Тогда:

• Угол A + угол B + угол C = 180°.
• α + 120° + α = 180°.
• 2α = 60°.
• α = 30°.

Теперь мы знаем, что угол A равен 30°, угол B равен 120°, и угол C также равен 30°.

Теперь рассмотрим треугольник ABF. Угол BAF равен 90°, а угол A равен 30°. Следовательно, угол ABF равен 60° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°). Таким образом, мы имеем треугольник ABF, в котором:

• Угол A = 30°.
• Угол BAF = 90°.
• Угол ABF = 60°.

Согласно свойствам треугольника, мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике. В данном случае:

• BF = 36.
• AF = BF * sin(60°) = 36 * (√3/2) = 18√3.
• AB = BF * sin(30°) = 36 * (1/2) = 18.

Теперь, чтобы найти длину отрезка FM, нам нужно рассмотреть медиану BM. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из угла, делит его на два равных угла и равна половине основания, если основание равно стороне, к которой проведена медиана.

Так как BM является медианой, мы можем использовать формулу для медианы:

BM = (1/2) * √(2AB² + 2BC² - AC²).

Однако, в нашем случае, так как AB = BC, мы можем упростить задачу. Мы знаем, что:

• AB = 18.
• BM = (1/2) * √(2 * 18² + 2 * 18² - AC²).

Но нам не нужно находить AC, так как мы уже знаем, что BM делит треугольник на два равных треугольника, и нам достаточно знать, что FM = AF.

Таким образом, длина отрезка FM равна:

FM = AF = 18√3.