Чтобы найти длину отрезка BH в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, мы можем использовать информацию о тангенсе угла A и свойства высоты CH. Давайте разберем шаги решения.

1. Определим стороны треугольника ABC:
   • Пусть AB - гипотенуза, тогда AC и BC - катеты.
   • Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC). То есть:
   • tan(A) = BC / AC = 3/5.
2. Обозначим стороны:
   • Пусть BC = 3k и AC = 5k, где k - некоторая положительная величина.
3. Найдем длину гипотенузы AB:
   • По теореме Пифагора: AB^2 = AC^2 + BC^2.
   • Подставим значения: (5k)^2 + (3k)^2 = 25k^2 + 9k^2 = 34k^2.
   • Так как AB = 34, то 34^2 = 34k^2, откуда 1156 = 34k^2.
   • Решим уравнение: k^2 = 1156 / 34 = 34, k = √34.
4. Теперь найдем длины катетов:
   • BC = 3k = 3√34,
   • AC = 5k = 5√34.
5. Найдем длину высоты CH:
   • Высота CH в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле: CH = (AC * BC) / AB.
   • Подставим значения: CH = (5√34 * 3√34) / 34 = (15 * 34) / 34 = 15.
6. Теперь найдем отрезок BH:
   • Используем теорему о высоте в прямоугольном треугольнике: BH = (AB^2 - AC^2) / AB.
   • Подставим значения: BH = (34^2 - (5√34)^2) / 34 = (1156 - 850) / 34 = 306 / 34 = 9.

Ответ: Длина отрезка BH равна 9.