Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов, угол A равен 30 градусов, а длина гипотенузы AB равна 90 корней из 3.

В треугольнике с углом 30 градусов и 90 градусов мы можем воспользоваться известными свойствами таких треугольников. В частности, в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов:

• Сторона, противолежащая углу 30 градусов (сторона AC),в два раза меньше гипотенузы.
• Сторона, противолежащая углу 60 градусов (сторона BC),равна гипотенузе, умноженной на корень из 3, делённой на 2.

Так как AB является гипотенузой, мы можем рассчитать длины сторон AC и BC следующим образом:

1. Сторона AC (против угла A) равна: AC = (1/2) * AB = (1/2) * 90√3 = 45√3.
2. Сторона BC (против угла B) равна: BC = (√3/2) * AB = (√3/2) * 90√3 = 135.

Теперь нам нужно найти высоту CH из вершины C на сторону AB. В прямоугольном треугольнике высота CH, проведенная из прямого угла, может быть найдена по формуле:

CH = (AC * BC) / AB.

Подставим известные значения:

1. AC = 45√3
2. BC = 135
3. AB = 90√3

Теперь вычислим CH:

1. CH = (45√3 * 135) / (90√3).
2. Сначала упростим: CH = (45 * 135) / 90.
3. Теперь произведем деление: 135 / 90 = 1.5.
4. Теперь умножим: CH = 45 * 1.5 = 67.5.

Таким образом, высота CH из вершины C на сторону AB равна 67.5.