Чтобы доказать, что треугольник А1В1С1 равен треугольнику PQR, мы воспользуемся свойствами медиан и некоторыми геометрическими соотношениями. Давайте рассмотрим шаги решения подробнее.

1. Определим точки и обозначим их:
   • Точки A1, B1, C1 — это середины сторон треугольника ABC.
   • Точка M — точка пересечения медиан AА1, ВВ1 и СС1.
   • Точки P, Q и R — это середины отрезков AM, BM и CM соответственно.
2. Проведем анализ треугольника А1В1С1:
   • Треугольник А1В1С1 состоит из отрезков, соединяющих середины сторон треугольника ABC.
   • Каждая медиана делит треугольник на два меньших треугольника, которые имеют равные площади.
3. Рассмотрим треугольник PQR:
   • Точки P, Q и R — это середины отрезков AM, BM и CM соответственно.
   • По свойствам средних линий, отрезок PQ будет параллелен отрезку A1B1 и равен половине его длины.
   • Аналогично, отрезок QR будет параллелен отрезку B1C1 и равен половине его длины, а отрезок RP будет параллелен отрезку C1A1 и равен половине его длины.
4. Докажем равенство треугольников:
   • Треугольник PQR является подобным треугольнику A1B1C1 по двум сторонам и углу между ними (по теореме о подобных треугольниках).
   • Так как каждая сторона треугольника PQR в два раза меньше соответствующей стороны треугольника A1B1C1, то треугольники PQR и A1B1C1 равны по всем углам и пропорциональны по всем сторонам.
   • Следовательно, треугольник PQR равен треугольнику A1B1C1.

Таким образом, мы доказали, что треугольник A1B1C1 равен треугольнику PQR, используя свойства медиан и средних линий в треугольниках.