В треугольнике одна сторона равна 6 см, другая - 4√3, а угол напротив меньшей стороны равен 60°. Каковы величины остальных углов этого треугольника?

Геометрия 8 класс Треугольники углы треугольника геометрия 8 класс задача на треугольник сторона треугольника угол треугольника вычисление углов Тригонометрия свойства треугольника Новый

Для решения задачи о нахождении углов в треугольнике, где известны две стороны и угол, мы можем воспользоваться теоремой косинусов и синусов. Давайте разберем шаги подробнее.

Итак, у нас есть треугольник ABC, где:

• Сторона a (напротив угла A) равна 4√3 см;
• Сторона b (напротив угла B) равна 6 см;
• Угол C равен 60°.

Сначала мы найдем угол A с помощью теоремы косинусов:

1. Согласно теореме косинусов, мы можем выразить квадрат стороны c (которая будет находиться напротив угла C) следующим образом:
2. c² = a² + b² - 2ab * cos(C).
3. Подставим известные значения:

Сторона a = 4√3, сторона b = 6, угол C = 60°. Тогда:

1. c² = (4√3)² + 6² - 2 * (4√3) * 6 * cos(60°).
2. c² = 48 + 36 - 2 * (4√3) * 6 * (1/2).
3. c² = 48 + 36 - 24√3.
4. c² = 84 - 24√3.

Теперь мы можем найти угол A с помощью теоремы синусов:

1. Согласно теореме синусов, мы можем записать:
2. (a/sin(A)) = (b/sin(B)) = (c/sin(C)).
3. Мы знаем угол C и стороны a и b, поэтому можем выразить sin(A):

Сначала найдем сторону c, используя значение c², которое мы нашли ранее. Затем мы можем найти sin(C):

1. sin(C) = sin(60°) = √3/2.
2. Теперь подставим значения в формулу:
3. (4√3/sin(A)) = (6/(√3/2)).

Решим это уравнение:

1. 6/(√3/2) = 6 * 2/√3 = 12/√3.
2. Теперь у нас есть уравнение: 4√3/sin(A) = 12/√3.
3. Перепишем его: sin(A) = (4√3 * √3) / 12 = 12/12 = 1.

Таким образом, угол A равен 90°. Теперь мы можем найти угол B, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

1. Угол A = 90°;
2. Угол C = 60°;
3. Угол B = 180° - 90° - 60° = 30°.

Итак, мы нашли величины остальных углов треугольника:

• Угол A = 90°;
• Угол B = 30°;
• Угол C = 60°.

Таким образом, ответ: углы треугольника равны 90°, 30° и 60°.