Чтобы определить длины сторон треугольника ∆ АВС, используя подобие треугольников, необходимо следовать следующим шагам:

1. Понимание условия задачи:
   • Треугольники ∆ АВС и ∆ А1В1С1 подобны. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны.
   • Даны длины сторон треугольника ∆ А1В1С1: А1В1 = 12 см, В1С1 = 14 см, А1С1 = 16 см.
   • Сторона АС в треугольнике ∆ АВС является меньшей.
2. Определение коэффициента подобия:
   • Поскольку сторона АС в треугольнике ∆ АВС является меньшей, она должна соответствовать самой маленькой стороне треугольника ∆ А1В1С1, то есть стороне А1В1 = 12 см.
   • Обозначим длину стороны АС в треугольнике ∆ АВС как х.
   • Коэффициент подобия будет равен отношению соответствующих сторон: х/12.
3. Использование коэффициента подобия для нахождения других сторон:
   • Сторона АВ в треугольнике ∆ АВС соответствует стороне А1В1 в треугольнике ∆ А1В1С1, то есть АВ = х.
   • Сторона ВС в треугольнике ∆ АВС будет пропорциональна стороне В1С1, поэтому длина ВС = (х/12) * 14.
   • Сторона АС в треугольнике ∆ АВС будет пропорциональна стороне А1С1, поэтому длина АС = (х/12) * 16.
4. Заключение:
   • Таким образом, для определения точных значений длин сторон АВ и ВС в треугольнике ∆ АВС, необходимо знать значение х, которое может быть дано в задаче или определено из дополнительных условий.
   • Если известно значение х, например х = 8, то можно подставить это значение в формулы и рассчитать длины сторон.

Таким образом, используя коэффициент подобия и пропорции, можно определить длины сторон треугольника ∆ АВС, если известна хотя бы одна из его сторон.