Вопрос: Биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC пересекаются в точке O. Как можно доказать, что луч AO является биссектрисой угла A?

Геометрия 8 класс Биссектрисы углов треугольника биссектрисы внешние углы вершины B и C треугольник ABC точка O доказательство луч AO биссектрисы угла A геометрия 8 класс Новый

Ответ:

Объяснение:

Дано: треугольник ABC, биссектрисы внешних углов при вершинах B и C пересекаются в точке O. Нам необходимо доказать, что луч AO является биссектрисой угла A.

Доказательство:

1. Начнем с того, что опустим перпендикуляры из точки O на стороны треугольника. Давайте обозначим эти перпендикуляры как OK, OM и ON, где K, M и N - точки на сторонах AB, AC и BC соответственно.

2. Рассмотрим треугольники СОК и СОТ (где T - точка, где перпендикуляр ON пересекает AC). Поскольку это прямоугольные треугольники, мы можем сказать, что:

• ∠COK = ∠COT (так как это внешние углы при вершине C),
• СО - общая сторона для обоих треугольников.

Следовательно, по признаку равенства треугольников по гипотенузе и острому углу мы получаем, что треугольники СОК и СОТ равны, и, следовательно, OK = OT.

3. Теперь рассмотрим треугольники ВОР и ВОМ (где O - точка пересечения биссектрисы с AC). Аналогично, можно заметить, что:

• ∠BOP = ∠BOM (это внешние углы при вершине B),
• ВО - общая сторона для этих треугольников.

По аналогичному принципу, мы можем сказать, что треугольники ВОР и ВОМ равны, и, следовательно, OM = OP.

4. Теперь у нас есть равенства: OK = OT и OM = OP. Это означает, что OK = OM. Таким образом, мы показали, что отрезки, проведенные из точки O к сторонам треугольника, равны.

5. Рассмотрим треугольники АМО и АОК. Эти треугольники также являются прямоугольными, поскольку AO - это общая сторона. Мы имеем равенство OK = OM, что делает треугольники АМО и АОК равными (по катету и гипотенузе).

6. Следовательно, ∠MAO = ∠KAO, что и означает, что луч AO является биссектрисой угла A.

Таким образом, мы доказали, что луч AO действительно является биссектрисой угла A в треугольнике ABC.