5. Даны вектор p(-5;5), d(3; 4) и q(3; а). Найдите:

1. а) косинус угла между векторами p и d;
2. б) значение а, если векторы d и q коллинеарны;
3. в) значение а, если векторы p и q перпендикулярны.

Геометрия 9 класс Векторы и операции с ними векторы p и d косинус угла коллинеарность векторов перпендикулярные векторы значение а в геометрии Новый

Давайте решим задачу поэтапно.

а) Найдем косинус угла между векторами p и d.

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (p * d) / (|p| * |d|),

где:

• p * d - скалярное произведение векторов p и d;
• |p| и |d| - длины векторов p и d соответственно.

Сначала найдем скалярное произведение векторов p и d:

p = (-5; 5), d = (3; 4).

Тогда:

p * d = (-5) * 3 + 5 * 4 = -15 + 20 = 5.

Теперь найдем длины векторов:

|p| = √((-5)² + 5²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2.

|d| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = 5 / (5√2 * 5) = 5 / (25√2) = 1 / (5√2).

Таким образом, косинус угла между векторами p и d равен 1 / (5√2).

б) Найдем значение a, если векторы d и q коллинеарны.

Векторы d и q коллинеарны, если один из них является кратным другому. Вектор q имеет координаты (3; a).

Таким образом, мы можем записать следующее соотношение:

(3; a) = k * (3; 4),

где k - некоторое число. Это дает нам систему уравнений:

• 3 = 3k;
• a = 4k.

Из первого уравнения получаем:

k = 1.

Теперь подставим значение k во второе уравнение:

a = 4 * 1 = 4.

Следовательно, значение a равно 4.

в) Найдем значение a, если векторы p и q перпендикулярны.

Векторы p и q перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

p * q = 0.

Скалярное произведение векторов p и q:

p = (-5; 5), q = (3; a).

Тогда:

p * q = (-5) * 3 + 5 * a = -15 + 5a.

Для перпендикулярности:

-15 + 5a = 0.

Решим это уравнение:

5a = 15;

a = 15 / 5 = 3.

Таким образом, значение a равно 3.

В итоге мы получили:

• а) косинус угла между векторами p и d равен 1 / (5√2);
• б) значение a, если векторы d и q коллинеарны, равно 4;
• в) значение a, если векторы p и q перпендикулярны, равно 3.