Дана правильная треугольная пирамида: угол между боковым ребром и плоскостью основания α = 30°, высота SO = 6 см. Нужно найти объём.

1. Пусть S — вершина пирамиды, O — центр (центроид) правильного треугольника основания, A — вершина основания. Боковое ребро SA = l, высота SO = h = 6 см.

2. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен углу между SA и его проекцией на плоскость основания OA. Тогда sin α = SO / SA, значит

   SA = h / sin α = 6 / sin 30° = 6 / (1/2) = 12 см.

3. В правильной треугольной пирамиде центр основания O совпадает с центром тяжести равностороннего треугольника, расстояние от центра до вершины равно a * sqrt(3) / 3, где a — сторона основания. Но это же длина проекции SA на плоскость основания, то есть

   OA = sqrt(SA^2 - SO^2) = sqrt(12^2 - 6^2) = sqrt(144 - 36) = sqrt(108) = 6 * sqrt(3).

   Следовательно a * sqrt(3) / 3 = 6 * sqrt(3), откуда a / 3 = 6, то есть a = 18 см.

4. Площадь основания (равносторонний треугольник): S_base = (sqrt(3)/4) * a^2 = (sqrt(3)/4) * 18^2 = (sqrt(3)/4) * 324 = 81 * sqrt(3) см^2.

5. Объём пирамиды: V = (1/3) * S_base * h = (1/3) * 81 * sqrt(3) * 6 = 81 * sqrt(3) * 2 = 162 * sqrt(3) см^3.

   Численно: 162 * sqrt(3) ≈ 162 * 1.732 ≈ 280.6 см^3.

Ответ: V = 162 * sqrt(3) см^3 ≈ 280.6 см^3.