Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 и образует с образующей цилиндра угол 30 градусов. Как можно вычислить площадь боковой поверхности и объём цилиндра?

Геометрия 9 класс Цилиндр диагональ осевого сечения цилиндра угол 30 градусов площадь боковой поверхности цилиндра объём цилиндра геометрия 9 класс Новый

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности и объём цилиндра, нам сначала нужно выяснить его размеры, такие как радиус основания и высота. Мы можем использовать данные, которые у нас есть: диагональ осевого сечения и угол между диагональю и образующей.

Давайте начнем с осевого сечения цилиндра. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, где:

• одна сторона равна высоте цилиндра (h),
• другая сторона равна диаметру основания цилиндра (d),
• диагональ этого прямоугольника равна 10.

По теореме Пифагора мы можем записать следующее уравнение для диагонали:

d² + h² = 10²

Также, учитывая, что радиус (r) основания цилиндра равен половине диаметра (d), мы можем записать:

d = 2r

Теперь, используя угол 30 градусов, мы можем найти соотношение между высотой и радиусом. Учитывая, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (радиусу), мы можем записать:

tan(30°) = h / r

Зная, что tan(30°) = 1/√3, мы можем выразить высоту через радиус:

h = r / √3

Теперь подставим это значение высоты в уравнение для диагонали:

1. Подставляем h в уравнение: (2r)² + (r / √3)² = 10²
2. Раскроем скобки: 4r² + r²/3 = 100
3. Приведем к общему знаменателю: (12r² + r²) / 3 = 100
4. Упростим: 13r² / 3 = 100
5. Умножим обе стороны на 3: 13r² = 300
6. Разделим на 13: r² = 300 / 13
7. Теперь найдем r: r = √(300 / 13)

Теперь, когда у нас есть радиус, мы можем найти высоту:

h = r / √3 = √(300 / 13) / √3 = √(100) / √13 = 10 / √13

Теперь, когда у нас есть радиус и высота, мы можем вычислить площадь боковой поверхности и объём цилиндра:

Площадь боковой поверхности (S):

Формула для площади боковой поверхности цилиндра: S = 2 * π * r * h

Подставим найденные значения:

S = 2 * π * √(300 / 13) * (10 / √13)

Объём (V):

Формула для объёма цилиндра: V = π * r² * h

Подставим найденные значения:

V = π * (300 / 13) * (10 / √13)

Теперь вы можете подставить значения π и вычислить конечные результаты для площади боковой поверхности и объёма цилиндра.