Докажите, что среди всех параллелограммов с диагоналями 8 см и 13 см наибольшую площадь имеет ромб.

Геометрия 9 класс Параллелограммы и их свойства параллелограммы диагонали площадь ромб доказательство геометрия 9 класс свойства параллелограмма максимальная площадь Новый

Чтобы доказать, что среди всех параллелограммов с заданными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб, воспользуемся формулой для вычисления площади параллелограмма через его диагонали.

Формула площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма можно выразить через длины его диагоналей D1 и D2 следующим образом:

S = (D1 * D2) / 2 * sin(α),

где α - угол между диагоналями.

В нашем случае диагонали параллелограмма равны D1 = 8 см и D2 = 13 см. Подставим эти значения в формулу:

S = (8 * 13) / 2 * sin(α) = 52 * sin(α).

Теперь обратим внимание на то, что функция sin(α) принимает максимальное значение 1, когда угол α равен 90 градусам. Это означает, что максимальная площадь будет достигнута, когда параллелограмм становится квадратом или ромбом.

Почему ромб имеет наибольшую площадь?

Ромб - это частный случай параллелограмма, где все стороны равны, и углы между диагоналями равны 90 градусам. Это значит, что в ромбе sin(α) будет равно 1, а значит, площадь будет максимальной:

S = 52 * 1 = 52 см².

Для других параллелограммов с теми же диагоналями, угол α может быть меньше 90 градусов, что приведет к тому, что значение sin(α) будет меньше 1, и, следовательно, площадь будет меньше 52 см².

Вывод:

Таким образом, мы доказали, что среди всех параллелограммов с диагоналями 8 см и 13 см наибольшую площадь имеет ромб, поскольку только в ромбе угол между диагоналями равен 90 градусам, что максимизирует значение sin(α) и, следовательно, площадь.