Докажите, что в равнобедренной трапеции, если диагонали перпендикулярны, то высота, проведённая к основанию, равна средней линии.

Геометрия 9 класс Равнобедренные трапеции равнобедренная трапеция диагонали перпендикулярны высота средняя линия доказательство свойства трапеции геометрия 9 класс Новый

Давайте рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. Предположим, что диагонали AC и BD перпендикулярны.

Наша цель - доказать, что высота, проведённая к основанию CD, равна средней линии трапеции.

Для начала вспомним, что средняя линия трапеции определяется как:

• Средняя линия = (AB + CD) / 2

Теперь обозначим высоту, проведённую из точки C на основание CD, как h. Таким образом, у нас есть высота h, которая перпендикулярна основанию CD.

Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны AD и BC равны. Обозначим их длину как a.

Теперь рассмотрим треугольники ACD и BCD. Поскольку диагонали AC и BD перпендикулярны, мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников:

1. В треугольнике ACD высота h делит его на два прямоугольных треугольника, где AC и CD являются гипотенузами.
2. Также, в треугольнике BCD высота h делит его на два прямоугольных треугольника, где BD и CD являются гипотенузами.

Теперь, используя теорему Пифагора в этих треугольниках, мы можем выразить длины оснований через h:

• AC² = h² + (x)², где x - это проекция высоты на основание AB.
• BD² = h² + (y)², где y - это проекция высоты на основание CD.

Поскольку AC = BD (так как это диагонали равнобедренной трапеции), мы можем приравнять эти два уравнения:

• h² + (x)² = h² + (y)²

Упрощая это уравнение, мы получаем:

• (x)² = (y)²

Это означает, что проекции x и y равны, и, следовательно, высота h делит основание CD пополам.

Теперь, возвращаясь к средней линии, мы знаем, что:

• Средняя линия = (AB + CD) / 2 = (AB + CD) / 2 = h

Таким образом, мы пришли к выводу, что высота h, проведённая к основанию, равна средней линии трапеции. Это завершает доказательство.

Ответ: В равнобедренной трапеции, если диагонали перпендикулярны, то высота, проведённая к основанию, равна средней линии.