Для решения задачи мы воспользуемся теоремой косинусов для нахождения третьей стороны треугольника, а затем применим формулу для вычисления площади треугольника.

Шаг 1: Нахождение третьей стороны треугольника

Дано:

• Сторона a = 8 см
• Сторона b = 4√3 см
• Угол между ними α = 30°

По теореме косинусов, третья сторона c можно найти по формуле:

c² = a² + b² - 2ab * cos(α)

Где cos(30°) = √3 / 2. Подставим известные значения:

1. c² = 8² + (4√3)² - 2 * 8 * 4√3 * (√3 / 2)
2. c² = 64 + 48 - 32√3 * (√3 / 2)
3. c² = 64 + 48 - 32 * 3 / 2
4. c² = 64 + 48 - 48
5. c² = 64
6. c = √64 = 8 см

Таким образом, третья сторона треугольника равна 8 см.

Шаг 2: Нахождение площади треугольника

Для нахождения площади треугольника мы можем использовать формулу:

Площадь = (1/2) * a * b * sin(α)

Где sin(30°) = 1/2. Подставим известные значения:

1. Площадь = (1/2) * 8 * (4√3) * (1/2)
2. Площадь = 8 * 4√3 / 4
3. Площадь = 8√3 см²

Таким образом, площадь треугольника равна 8√3 см².

Ответ: Третья сторона треугольника равна 8 см, а площадь треугольника равна 8√3 см².