Для доказательства того, что треугольник является прямоугольным, если одна сторона, находящаяся напротив угла в 30 градусов, равна половине другой стороны, можно воспользоваться теорией синусов и свойствами треугольников.

Рассмотрим треугольник ABC, где угол A равен 30 градусам, сторона BC (напротив угла A) равна a, а сторона AB (напротив угла B) равна 2a. Сторона AC будет обозначена как b.

1. Запишем соотношение по синусам:

   Согласно теореме синусов, для любого треугольника выполняется следующее соотношение:

   a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

   В нашем случае:

   a / sin(30°) = 2a / sin(B)

2. Подставим значение sin(30°):

   Зная, что sin(30°) = 1/2, подставим это значение в уравнение:

   a / (1/2) = 2a / sin(B)

   Это упростится до:

   2a = 2a / sin(B)

3. Упростим уравнение:

   Упростим его, деля обе стороны на 2a (при условии, что a не равно 0):

   1 = 1 / sin(B)

   Таким образом, получаем:

   sin(B) = 1

4. Определим угол B:

   Так как sin(B) = 1, это означает, что угол B равен 90 градусам.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике ABC угол B равен 90 градусов, что и означает, что данный треугольник является прямоугольным.