Как можно доказать, что прямая, которая проходит через середины двух параллельных хорд окружности, обязательно пересекает её центр?

Геометрия 9 класс Окружность и её свойства доказательство прямая середины параллельные хорды окружность центр окружности Новый

Чтобы доказать, что прямая, которая проходит через середины двух параллельных хорд окружности, пересекает её центр, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Определим необходимые элементы:
   • Обозначим окружность O с центром в точке O.
   • Пусть A и B - концы первой хорды, а C и D - концы второй хорды.
   • Обозначим середины хорд AB и CD как M и N соответственно.
2. Параллельность хорд:

   Поскольку хорд AB и CD параллельны, это означает, что они находятся на одном расстоянии друг от друга и никогда не пересекаются.

3. Проведем перпендикуляры:

   Из точки O (центра окружности) проведем перпендикуляры к хордам AB и CD. Пусть перпендикуляр к AB пересекает его в точке P, а перпендикуляр к CD - в точке Q.

4. Свойства перпендикуляров:

   Поскольку OP и OQ - перпендикуляры к параллельным линиям, они равны по длине и находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности O.

5. Середины хорд:

   Согласно свойству хорд окружности, середина хорды находится на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к этой хорде. Таким образом, точки M и N также лежат на перпендикулярах, проведенных из точки O.

6. Параллельные линии и пересечение:

   Так как линии, проведенные из O к хордам, являются перпендикулярами и M, N находятся на этих перпендикулярах, то прямая MN, проходящая через середины хорд, будет также перпендикулярна к этим хордом.

7. Заключение:

   Таким образом, прямая MN, проходящая через середины параллельных хорд, будет пересекаться с перпендикулярами OP и OQ в одной и той же точке O, которая является центром окружности. Это и доказывает, что прямая, проходящая через середины двух параллельных хорд, обязательно пересекает центр окружности.