Какова длина окружности, если площадь правильного четырёхугольника, описанного около этой окружности, больше площади правильного треугольника, вписанного в эту окружность, на 32-6√3? Нужно сделать рисунок и представить развёрнутое решение, сохраняя иррациональные числа в исходном виде.

Геометрия 9 класс Окружность и её свойства длина окружности площадь правильного четырехугольника площадь правильного треугольника описанная окружность вписанная окружность иррациональные числа развёрнутое решение геометрия 9 класс задачи по геометрии Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы найти длину окружности, используя данные о площадях правильного четырёхугольника и правильного треугольника.

Обозначим радиус окружности как R. Поскольку правильный треугольник вписан в окружность, его площадь можно выразить через радиус окружности. Площадь правильного треугольника, вписанного в окружность, равна:

Площадь треугольника = (3√3 / 4) * R^2

Теперь рассмотрим правильный четырёхугольник, описанный около этой же окружности. Площадь правильного квадрата, описанного около окружности, равна:

Площадь квадрата = 2R^2

Согласно условию задачи, площадь квадрата больше площади треугольника на 32 - 6√3. Мы можем записать это в виде уравнения:

2R^2 - (3√3 / 4) * R^2 = 32 - 6√3

Теперь упростим это уравнение. Объединим площади:

(2 - (3√3 / 4)) * R^2 = 32 - 6√3

Чтобы упростить выражение, найдем общий знаменатель для коэффициента при R^2:

2 = 8/4

Теперь подставим это значение:

(8/4 - 3√3 / 4) * R^2 = 32 - 6√3

Объединим дроби:

((8 - 3√3) / 4) * R^2 = 32 - 6√3

Теперь умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

(8 - 3√3) * R^2 = 128 - 24√3

Теперь выразим R^2:

R^2 = (128 - 24√3) / (8 - 3√3)

Теперь нам нужно найти длину окружности. Длина окружности (C) определяется формулой:

C = 2πR

Сначала найдем R, взяв корень из R^2:

R = √((128 - 24√3) / (8 - 3√3))

Теперь подставим это значение в формулу для длины окружности:

C = 2π * √((128 - 24√3) / (8 - 3√3))

Таким образом, длина окружности равна:

C = 2π * √((128 - 24√3) / (8 - 3√3))

Это и будет нашим окончательным ответом. Мы нашли длину окружности, используя данные о площадях правильного квадрата и правильного треугольника.