Как можно доказать, что выпуклый четырёхугольник AВCD является параллелограммом при условии, что стороны AB и CD параллельны, а углы zA и zC равны?

Геометрия 9 класс Параллелограммы выпуклый четырёхугольник параллелограмм доказательство стороны параллельны углы равны Новый

Чтобы доказать, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом при заданных условиях, мы можем воспользоваться свойствами параллелограммов и углов. Давайте рассмотрим шаги доказательства.

1. Запишем условия:
   • Стороны AB и CD параллельны (AB || CD).
   • Углы zA и zC равны (zA = zC).
2. Используем свойства параллельных прямых:

   Если две прямые параллельны, то углы, образованные одной из этих прямых и секущей, будут равны. В нашем случае, поскольку AB || CD, мы можем рассмотреть углы, образованные с секущей AC:

   • Угол zB (при вершине B) и угол zD (при вершине D) являются соответственными углами.
3. Доказательство равенства углов:

   Поскольку AB || CD и zA = zC, то по свойствам параллельных прямых следовательно, что:

   • zB = zD (соответственные углы).
4. Сумма углов в четырёхугольнике:

   Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна 360 градусов. Таким образом, мы можем записать:

   • zA + zB + zC + zD = 360°.

   Подставляя равенства углов, получаем:

   • zA + zB + zA + zB = 360°.

   Это можно упростить до:

   • 2zA + 2zB = 360°.

   Следовательно:

   • zA + zB = 180°.

   Таким образом, углы zA и zB являются смежными и в сумме дают 180°.

5. Заключение:

   Теперь, если у нас есть параллельные стороны AB и CD и равные углы zA и zC, а также равные углы zB и zD, это означает, что противоположные стороны ABCD равны и параллельны. Следовательно, по определению, ABCD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом при условии, что стороны AB и CD параллельны, а углы zA и zC равны.