На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и O так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ - параллелограммы.

Геометрия 9 класс Параллелограммы четырехугольник ABCD точки MNPQ доказательство параллелограмма свойства параллелограмма геометрия задачи по геометрии Новый

Для доказательства того, что ABCD и MNPQ являются параллелограммами, мы будем использовать свойства параллелограмма и соотношения между сторонами и углами.

Шаг 1: Рассмотрим свойства параллелограмма ABCD.

• В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD.
• Также, противоположные углы равны: угол A = угол C и угол B = угол D.

Шаг 2: Проанализируем точки M, N, P и O.

• По условию AM = CP и BN = DQ. Это значит, что отрезки AM и CP равны, а также отрезки BN и DQ равны.
• Также дано, что BM = DP и NC = QA. Это означает, что отрезки BM и DP равны, а также отрезки NC и QA равны.

Шаг 3: Доказательство, что MNPQ - параллелограмм.

• Мы можем показать, что MN || PQ и NP || MQ.
• Согласно свойству параллелограмма, если две пары противоположных сторон равны, то они параллельны.

Шаг 4: Доказательство параллельности сторон.

• Сначала рассмотрим отрезки MN и PQ. У нас есть:
1. MN = AM + BN, поскольку M находится на AB, а N на BC.
2. PQ = CP + DQ, поскольку P находится на CD, а Q на DA.
• Поскольку AM = CP и BN = DQ, то MN = PQ.

• Теперь рассмотрим отрезки NP и MQ. У нас есть:
1. NP = BN + NC и MQ = AM + DP.
• Так как BN = DQ и NC = QA, то NP = MQ.

Шаг 5: Заключение.

• Мы доказали, что MN = PQ и NP = MQ. Это означает, что MNPQ - параллелограмм.
• Таким образом, мы можем утверждать, что ABCD и MNPQ являются параллелограммами, так как обе фигуры имеют равные противоположные стороны.

Таким образом, мы завершили доказательство. ABCD и MNPQ действительно являются параллелограммами.