Давайте рассмотрим, как построить произвольный треугольник и провести биссектрисы углов, а затем докажем, что точка их пересечения равноудалена от всех сторон треугольника.

1. Построение треугольника ABC:
   • Начнем с произвольной прямой линии и выберем на ней две точки, которые обозначим как A и B.
   • Отметим третью точку C в произвольном месте, не лежащем на прямой линии AB.
   • Соединим точки A и C, а также B и C, чтобы получить треугольник ABC.
2. Проведение биссектрис углов A и B:
   • Для угла A: Используя циркуль, проведем дугу с центром в точке A, пересекающую стороны AC и AB. Пусть точки пересечения будут D и E соответственно.
   • Не изменяя радиус циркуля, проведем дуги с центрами в точках D и E так, чтобы они пересеклись внутри треугольника. Обозначим точку пересечения этих дуг как F.
   • Соединим точки A и F. Прямая AF будет биссектрисой угла A.
   • Для угла B: Повторим аналогичную процедуру, выбрав центром точку B и обозначив точки пересечения дуг как G и H.
   • Соединим точки B и пересечение дуг внутри треугольника, обозначим эту точку как I. Прямая BI будет биссектрисой угла B.
3. Определение точки пересечения биссектрис:
   • Точки F и I пересекутся в одной точке внутри треугольника, обозначим ее как O.
4. Доказательство равноудаленности точки O от сторон треугольника:
   • Точка O является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Это означает, что она является инцентром треугольника.
   • Инцентр — это точка, которая равноудалена от всех сторон треугольника, так как она является центром вписанной окружности.
   • Таким образом, из точки O можно провести перпендикуляры к каждой из сторон треугольника, и длины этих перпендикуляров будут равны, что и доказывает равноудаленность точки O от сторон треугольника.

Таким образом, мы построили треугольник, провели биссектрисы углов A и B, и показали, что точка их пересечения O равноудалена от всех сторон треугольника, так как она является инцентром.