Чтобы найти корни уравнения 4x³ - 4x² - x + 1 = 0, мы можем воспользоваться методом подбора и деления многочленов. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Поиск рациональных корней: Мы можем использовать теорему о рациональных корнях, которая говорит, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид ±p/q, где p - делители свободного члена (в данном случае 1), а q - делители старшего коэффициента (в данном случае 4).
2. Делители 1: ±1. Делители 4: ±1, ±2, ±4. Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±1/2, ±1/4.
3. Подбор корней: Начнем с подбора корней из списка возможных. Подставим x = 1:
• 4(1)³ - 4(1)² - (1) + 1 = 4 - 4 - 1 + 1 = 0.
4. Мы нашли корень: x = 1.
5. Деление многочлена: Теперь мы можем разделить наш многочлен на (x - 1) с помощью деления многочленов. Запишем 4x³ - 4x² - x + 1 в виде деления:
• При делении 4x³ на x получаем 4x².
• Умножаем (x - 1) на 4x² и вычитаем из исходного многочлена.
• Получаем: -4x² + 4x² - x + 1 = -x + 1.
• Теперь делим -x на x, получаем -1.
• Умножаем (x - 1) на -1 и вычитаем: -x + 1 - (-x + 1) = 0.
6. Таким образом, мы получили: 4x³ - 4x² - x + 1 = (x - 1)(4x² - 1).
7. Решение квадратного уравнения: Теперь решим квадратное уравнение 4x² - 1 = 0:
• 4x² = 1.
• x² = 1/4.
• x = ±1/2.

Итак, корни уравнения 4x³ - 4x² - x + 1 = 0:

• x = 1,
• x = 1/2,
• x = -1/2.