Как найти площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20?

Геометрия 9 класс Площадь треугольника площадь прямоугольного треугольника биссектрисы гипотенуза отрезки формула площади геометрические задачи Новый

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, где биссектрисa прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20, мы можем следовать следующим шагам:

1. Обозначим стороны треугольника: Пусть треугольник ABC, где угол C - прямой. Гипотенуза AB делится биссектрисой угла C на отрезки AC и BC, длины которых равны 15 и 20 соответственно.
2. Найдем длину гипотенузы: Длина гипотенузы AB равна сумме отрезков AC и BC.
   • AB = AC + BC = 15 + 20 = 35.
3. Используем теорему о биссектрисе: В прямоугольном треугольнике биссектрисa угла, противолежащего гипотенузе, делит ее на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Обозначим стороны AC и BC как a и b соответственно. Тогда:
• AC / BC = a / b.
• 15 / 20 = a / b.
4. Найдем стороны треугольника: Мы можем выразить одну сторону через другую. Пусть a = 15k, b = 20k, где k - некоторый коэффициент. Тогда:
• По теореме Пифагора: (15k)^2 + (20k)^2 = (35)^2.
• 225k^2 + 400k^2 = 1225.
• 625k^2 = 1225.
• k^2 = 1225 / 625 = 1.96.
• k = √1.96 = 1.4.
5. Теперь найдем стороны: Подставим k обратно в выражения для a и b:
• a = 15 * 1.4 = 21.
• b = 20 * 1.4 = 28.
6. Теперь найдем площадь треугольника: Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
• Площадь = (1/2) * a * b = (1/2) * 21 * 28.
7. Вычислим площадь:
• Площадь = (1/2) * 588 = 294.

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника составляет 294 квадратных единицы.