Как найти третью сторону треугольника, если две стороны относятся как 5:3, угол между ними равен 120 градусов, а периметр составляет 45 см?

Геометрия 9 класс Треугольники третья сторона треугольника стороны треугольника угол между сторонами периметр треугольника задача по геометрии Новый

Для решения задачи о нахождении третьей стороны треугольника, где две стороны относятся как 5:3, угол между ними равен 120 градусов, а периметр составляет 45 см, мы будем использовать следующие шаги:

Шаг 1: Определение сторон треугольника

• Обозначим две стороны треугольника как a и b, где a = 5k и b = 3k, где k - некоторый коэффициент.

Шаг 2: Выражение периметра через стороны

• Периметр P треугольника можно выразить как сумму всех его сторон: P = a + b + c.
• Подставим значения: 45 = 5k + 3k + c.
• Упростим уравнение: 45 = 8k + c.

Шаг 3: Применение косинусного закона

• Для нахождения третьей стороны c воспользуемся косинусным законом, который гласит, что c² = a² + b² - 2ab * cos(угол).
• В нашем случае угол равен 120 градусов, и cos(120°) = -0.5.
• Теперь подставим значения a и b: c² = (5k)² + (3k)² - 2 * (5k) * (3k) * (-0.5).
• Упростим это выражение: c² = 25k² + 9k² + 15k² = 49k².
• Следовательно, c = 7k.

Шаг 4: Подстановка значения c в уравнение периметра

• Теперь подставим значение c в уравнение периметра: 45 = 8k + 7k.
• Упростим: 45 = 15k.
• Таким образом, k = 3.

Шаг 5: Нахождение сторон треугольника

• Теперь мы можем найти длины сторон:
• a = 5k = 5 * 3 = 15 см;
• b = 3k = 3 * 3 = 9 см;
• c = 7k = 7 * 3 = 21 см.

Шаг 6: Проверка периметра

• Проверим, что сумма сторон равна периметру: 15 + 9 + 21 = 45 см. Условие выполнено.

Таким образом, третья сторона треугольника составляет 21 см.