Чтобы найти значение косинуса угла между двумя векторами a¹ и a² с использованием данной формулы, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем скалярное произведение векторов a¹ и a².
   • Сначала запишем векторы: a¹ = (2; 3) и a² = (1; -2).
   • Скалярное произведение a¹ • a² вычисляется по формуле: a¹ • a² = x¹ * x² + y¹ * y², где (x¹, y¹) и (x², y²) - это координаты векторов.
   • Подставляем значения: a¹ • a² = 2 * 1 + 3 * (-2) = 2 - 6 = -4.
2. Найдем длины (модули) векторов a¹ и a².
   • Длина вектора a¹ = |a¹| = √(x¹² + y¹²) = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13.
   • Длина вектора a² = |a²| = √(x²² + y²²) = √(1² + (-2)²) = √(1 + 4) = √5.
3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса.
   • Используем формулу: cos(θ) = a¹ • a² / (|a¹| * |a²|).
   • Подставляем значения: cos(θ) = -4 / (√13 * √5).
   • Упрощаем: cos(θ) = -4 / √(13 * 5) = -4 / √65.

Таким образом, значение косинуса угла между векторами a¹ и a² равно -4 / √65.