Какое скалярное произведение  m → − n → m − n  и  3 m → n → 3 m n , если  ∣ m → ∣ = 5 ,  ∣ n → ∣ = 2 ,  m → n → ^ = 135 ° ? Запиши ответ числом.

Геометрия 9 класс Скалярное произведение векторов Новый

Для того чтобы найти скалярное произведение векторов m → − n → m − n и 3 m → n → 3 m n, нам нужно сначала определить, что представляют собой эти векторы.

1. **Определим векторы**:

• m → − n → обозначает вектор, который равен вектору m → минус вектор n →.
• 3 m → n → обозначает вектор, который равен вектору 3 m → плюс вектор n →.

2. **Найдём длины векторов**:

• Длина вектора m → равна 5.
• Длина вектора n → равна 2.

3. **Найдём угол между векторами**:

Угол между векторами m → и n → равен 135°. Это значит, что косинус угла между ними:

• cos(135°) = -√2/2.

4. **Вычислим длины новых векторов**:

• Длина вектора m → − n →:
1. По формуле: |m - n| = √(|m|² + |n|² - 2|m||n|cos(α)), где α - угол между векторами.
2. Подставим значения: |m - n| = √(5² + 2² - 2 * 5 * 2 * (-√2/2)).
3. |m - n| = √(25 + 4 + 10√2) = √(29 + 10√2).
• Длина вектора 3m + n:
1. |3m + n| = √(|3m|² + |n|² + 2|3m||n|cos(α)).
2. Подставим значения: |3m + n| = √((3 * 5)² + 2² + 2 * (3 * 5) * 2 * (-√2/2)).
3. |3m + n| = √(225 + 4 - 30√2) = √(229 - 30√2).

5. **Теперь мы можем вычислить скалярное произведение**:

Скалярное произведение двух векторов a и b определяется как:

a · b = |a| * |b| * cos(θ), где θ - угол между векторами.

Угол между векторами m - n и 3m + n можно найти, но для простоты мы можем использовать, что они имеют общий угол 135° и, следовательно, скалярное произведение будет:

(|m - n|) * (|3m + n|) * cos(135°).

6. **Теперь подставим значения**:

Скалярное произведение:

(√(29 + 10√2)) * (√(229 - 30√2)) * (-√2/2).

Так как это довольно сложно вычислить в точном виде, мы можем оценить это численно:

√(29 + 10√2) ≈ 8.7 и √(229 - 30√2) ≈ 10.6.

Тогда:

Скалярное произведение ≈ (8.7 * 10.6 * (-√2/2)) ≈ -61.8.

Таким образом, окончательный ответ:

-61.8