Какое значение имеет меньшее основание равнобедренной трапеции, если большее основание равно 70, боковая сторона равна 14, а тангенс острого угла равен 2√6 / 5?

Геометрия 9 класс Равнобедренные трапеции равнобедренная трапеция меньшее основание большее основание боковая сторона тангенс угла геометрия 9 класс Новый

Чтобы найти меньшее основание равнобедренной трапеции, давайте рассмотрим известные данные:

• Большое основание (a) = 70
• Боковая сторона (b) = 14
• Тангенс острого угла (tg) = 2√6 / 5

Сначала обозначим меньшее основание как c.

В равнобедренной трапеции мы можем провести высоту, которая будет перпендикулярна основаниям и разделит боковую сторону на две части. Обозначим высоту как h.

По определению тангенса угла, мы знаем, что:

tg(угол) = h / (x),

где x — это половина разности оснований. То есть:

x = (a - c) / 2.

Теперь подставим известные значения:

tg(угол) = 2√6 / 5 = h / ((70 - c) / 2).

Из этого уравнения выразим высоту h:

h = (70 - c) * (2√6 / 5) / 2 = (70 - c)√6 / 5.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения высоты:

b² = h² + x²,

где b — боковая сторона, h — высота, x — половина разности оснований.

Подставим известные значения:

14² = h² + ((70 - c) / 2)².

Подставим выражение для h:

14² = ((70 - c)√6 / 5)² + ((70 - c) / 2)².

Теперь упростим это уравнение:

1. 14² = 196
2. ((70 - c)√6 / 5)² = (70 - c)² * 6 / 25
3. ((70 - c) / 2)² = (70 - c)² / 4

Теперь у нас есть:

196 = (70 - c)² * 6 / 25 + (70 - c)² / 4.

Чтобы решить это уравнение, сначала найдем общий знаменатель для двух дробей:

Общий знаменатель равен 100. Перепишем уравнение:

196 = (70 - c)² * (6 / 25 * 4/4 + 1/4 * 25/25).

196 = (70 - c)² * (24/100 + 25/100).

196 = (70 - c)² * 49 / 100.

Теперь умножим обе стороны на 100:

19600 = (70 - c)² * 49.

Делим обе стороны на 49:

400 = (70 - c)².

Теперь извлекаем квадратный корень:

70 - c = ±20.

Решаем это уравнение:

1. 70 - c = 20 → c = 50
2. 70 - c = -20 → c = 90 (это невозможно, так как c должно быть меньше 70)

Таким образом, меньшее основание равнобедренной трапеции равно 50.