Какое значение имеет скалярное произведение векторов AB и AM в равностороннем треугольнике ABC, если сторона AB равна 4 и AM - это медиана?

Геометрия 9 класс Скалярное произведение векторов скалярное произведение векторы AB и AM равносторонний треугольник медиана треугольника сторона AB равна 4 Новый

Чтобы найти значение скалярного произведения векторов AB и AM в равностороннем треугольнике ABC, давайте сначала разберемся с некоторыми свойствами равностороннего треугольника и медиан.

Шаг 1: Определение сторон треугольника

В равностороннем треугольнике ABC все стороны равны. У нас есть сторона AB, которая равна 4. Следовательно:

• AB = BC = CA = 4

Шаг 2: Нахождение длины медианы AM

Медиана в равностороннем треугольнике делит его на два равных прямоугольных треугольника. Длина медианы можно вычислить по формуле:

m = (1/2) * √(2a^2 - b^2),

где a - сторона треугольника, b - сторона, к которой проведена медиана. В нашем случае:

• a = 4 (сторона AB)
• b = 4 (сторона AB)

Подставляем значения:

m = (1/2) * √(2 * 4^2 - 4^2) = (1/2) * √(32 - 16) = (1/2) * √16 = (1/2) * 4 = 2.

Таким образом, длина медианы AM равна 2.

Шаг 3: Нахождение угла между векторами AB и AM

В равностороннем треугольнике угол между любой стороной и медианой, проведенной к этой стороне, равен 30 градусам. Таким образом, угол между векторами AB и AM равен 30 градусам.

Шаг 4: Вычисление скалярного произведения

Скалярное произведение векторов можно найти по формуле:

AB · AM = |AB| * |AM| * cos(угол),

где |AB| и |AM| - длины векторов, а угол - это угол между ними.

Теперь подставим известные значения:

• |AB| = 4
• |AM| = 2
• угол = 30 градусов, cos(30) = √3/2 ≈ 0.866.

Теперь можем подставить значения в формулу:

AB · AM = 4 * 2 * (√3/2) = 8 * (√3/2) = 4√3.

Ответ: Скалярное произведение векторов AB и AM равно 4√3.