Какова длина сторон параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A делит сторону CD в отношении 1:3, считая от вершины угла C, и периметр параллелограмма равен 84 см?

Геометрия 9 класс Параллелограмм и его свойства длина сторон параллелограмма биссектрисы угла периметр параллелограмма отношение сторон геометрия параллелограмма задача по геометрии Новый

Для решения задачи о нахождении длины сторон параллелограмма ABCD, необходимо использовать свойства биссектрисы и формулы, связанные с периметром параллелограмма.

Шаг 1: Определение сторон параллелограмма

• Обозначим стороны параллелограмма: AB = a и AD = b.
• Согласно свойствам параллелограмма, стороны AB и CD равны, а также стороны AD и BC равны. Таким образом, CD = a и BC = b.

Шаг 2: Использование периметра

• Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, что можно записать как: P = 2(a + b).
• Из условия задачи известно, что периметр P = 84 см. Подставим это значение в формулу: 2(a + b) = 84.
• Разделим обе стороны уравнения на 2: a + b = 42.

Шаг 3: Применение свойства биссектрисы

• Биссектрисы угла A делят сторону CD в отношении 1:3. Это значит, что точка E, где биссектрисса пересекает сторону CD, делит CD на два отрезка: CE и ED.
• Обозначим длину отрезка CE как x, тогда ED будет равно 3x (по условию деления в отношении 1:3).
• Сумма этих отрезков равна длине стороны CD: CE + ED = a = x + 3x = 4x.
• Таким образом, длина стороны CD равна 4x.

Шаг 4: Подстановка в уравнение

• Теперь мы можем выразить длину стороны AB (которая равна a) через x: a = 4x.
• Согласно уравнению a + b = 42, подставим a: 4x + b = 42.
• Теперь выразим b: b = 42 - 4x.

Шаг 5: Подбор значений

• Так как стороны параллелограмма должны быть положительными, необходимо, чтобы 42 - 4x > 0. Это дает неравенство: 42 > 4x, или x < 10.5.
• Также, так как b должно быть положительным, x должно быть больше 0: 0 < x < 10.5.

Теперь мы можем выбрать любое значение x в этом диапазоне. Например, если x = 7, то:

• a = 4 * 7 = 28 см,
• b = 42 - 28 = 14 см.

Ответ: Длина сторон параллелограмма ABCD составляет 28 см и 14 см. Таким образом, стороны параллелограмма равны 28 см и 14 см.