Каковы значения синуса, косинуса и котангенса угла, если тангенс этого угла равен:

1. 2/3
2. корень из 3
3. 1

Геометрия 9 класс Тригонометрические функции синус угла косинус угла котангенс угла тангенс угла значения тригонометрических функций Новый

Чтобы найти значения синуса, косинуса и котангенса угла, зная тангенс этого угла, мы можем воспользоваться следующими соотношениями:

• Тангенс угла (tg) равен отношению синуса (sin) к косинусу (cos): tg = sin/cos.
• Котангенс угла (ctg) равен отношению косинуса к синусу: ctg = cos/sin.
• Также, по определению, sin^2 + cos^2 = 1.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:

1. Тангенс угла равен 2/3:
• Пусть sin = 2k и cos = 3k для некоторого k. Тогда:
• sin/cos = (2k)/(3k) = 2/3.
• Теперь подставим в формулу sin^2 + cos^2 = 1:
• (2k)^2 + (3k)^2 = 1, то есть 4k^2 + 9k^2 = 1, что дает 13k^2 = 1.
• Следовательно, k^2 = 1/13, а k = 1/sqrt(13).
• Теперь найдем sin и cos:
• sin = 2/sqrt(13), cos = 3/sqrt(13).
• Теперь вычислим котангенс:
• ctg = cos/sin = (3/sqrt(13))/(2/sqrt(13)) = 3/2.
2. Тангенс угла равен корень из 3:
• Пусть sin = k и cos = k/sqrt(3). Тогда:
• sin/cos = k/(k/sqrt(3)) = sqrt(3).
• Теперь подставим в формулу:
• k^2 + (k/sqrt(3))^2 = 1, то есть k^2 + k^2/3 = 1, что дает (3k^2 + k^2)/3 = 1.
• 4k^2/3 = 1, следовательно, k^2 = 3/4, а k = sqrt(3)/2.
• Теперь найдем sin и cos:
• sin = sqrt(3)/2, cos = 1/2.
• Теперь вычислим котангенс:
• ctg = cos/sin = (1/2)/(sqrt(3)/2) = 1/sqrt(3).
3. Тангенс угла равен 1:
• В этом случае sin = cos.
• Пусть sin = k и cos = k. Тогда:
• sin/cos = k/k = 1.
• Теперь подставим в формулу:
• k^2 + k^2 = 1, то есть 2k^2 = 1, следовательно, k^2 = 1/2, а k = 1/sqrt(2).
• Теперь найдем sin и cos:
• sin = 1/sqrt(2), cos = 1/sqrt(2).
• Теперь вычислим котангенс:
• ctg = cos/sin = (1/sqrt(2))/(1/sqrt(2)) = 1.

Таким образом, мы получили следующие значения:

• Для тангенса 2/3: sin = 2/sqrt(13), cos = 3/sqrt(13), ctg = 3/2.
• Для тангенса корень из 3: sin = sqrt(3)/2, cos = 1/2, ctg = 1/sqrt(3).
• Для тангенса 1: sin = 1/sqrt(2), cos = 1/sqrt(2), ctg = 1.