Давайте разберем каждый из ваших вопросов по очереди.

1. Какой катет равнобедренного прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности составляет 15√2?

В равнобедренном прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности (R) можно найти по формуле:

• R = (a√2) / 2, где a - длина катета.

Мы знаем, что R = 15√2. Подставим это значение в формулу:

(a√2) / 2 = 15√2.

Теперь умножим обе стороны уравнения на 2:

a√2 = 30√2.

Теперь разделим обе стороны на √2:

a = 30.

Таким образом, длина каждого катета равнобедренного прямоугольного треугольника составляет 30.

2. Каков радиус окружности, которая описана около прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6?

Для нахождения радиуса описанной окружности (R) прямоугольного треугольника можно использовать формулу:

• R = c / 2, где c - гипотенуза.

Сначала найдем гипотенузу (c) с помощью теоремы Пифагора:

c = √(a² + b²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

Теперь подставим значение гипотенузы в формулу для R:

R = 10 / 2 = 5.

Таким образом, радиус окружности, описанной около данного прямоугольного треугольника, составляет 5.

3. Какой радиус описанной окружности треугольника ABC, если AC равен 9 и угол B равен 60 градусов?

Для нахождения радиуса описанной окружности (R) треугольника можно использовать формулу:

• R = (a * b * c) / (4 * S),где S - площадь треугольника.

Однако в данном случае мы можем использовать другую формулу, так как у нас есть угол и одна сторона:

• R = a / (2 * sin(B)),где a - сторона, противолежащая углу B.

Мы знаем, что AC = 9 и угол B = 60 градусов. Подставим значения:

R = 9 / (2 * sin(60°)).

Значение sin(60°) равно √3 / 2. Подставим это значение:

R = 9 / (2 * (√3 / 2)) = 9 / √3 = 3√3.

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника ABC составляет 3√3.

4. Какой угол AOB в треугольнике ABC, если O - центр описанной окружности, угол OBC равен 35 градусам, а угол OAC равен 12 градусам?

Угол AOB можно найти, используя свойство углов, образованных радиусами, проведенными к вершинам треугольника:

• Угол AOB = 180° - (угол OBC + угол OAC).

Подставим известные значения:

Угол AOB = 180° - (35° + 12°) = 180° - 47° = 133°.

Таким образом, угол AOB в треугольнике ABC составляет 133 градуса.