Какой косинус угла между векторами a и b, если a = c - d, b = c + 2d, при условии, что |c| = |d| = 1 и угол между векторами c и d равен 90 градусов?

Геометрия 9 класс Скалярное произведение векторов косинус угла векторы a и b векторы c и d геометрия 9 класс угол между векторами длина вектора свойства косинуса векторная алгебра Новый

Чтобы найти косинус угла между векторами a и b, сначала нужно выразить их через векторы c и d. Давайте начнем с определения векторов a и b:

• a = c - d
• b = c + 2d

Теперь, чтобы найти косинус угла между векторами a и b, нам нужно использовать формулу:

cos(θ) = (a · b) / (|a| |b|)

Где "·" обозначает скалярное произведение векторов, а |a| и |b| - их длины.

Первым шагом будет вычисление скалярного произведения a и b:

a · b = (c - d) · (c + 2d)

Раскроем скобки:

• a · b = c · c + 2c · d - d · c - 2d · d

Так как c · c = |c|^2 и |c| = 1, то c · c = 1.

Также, |d| = 1, поэтому d · d = 1. Учитывая, что угол между векторами c и d равен 90 градусов, мы имеем:

• c · d = |c| |d| cos(90°) = 1 * 1 * 0 = 0

Теперь подставим все значения в выражение для скалярного произведения:

• a · b = 1 + 2 * 0 - 0 - 2 * 1
• a · b = 1 - 2 = -1

Теперь найдем длины векторов a и b:

|a| = |c - d|

Используя формулу для длины вектора:

|a| = √((c - d) · (c - d))

Раскроем скобки:

• |a| = √(c · c - 2c · d + d · d)

Подставим известные значения:

• |a| = √(1 - 2 * 0 + 1) = √(2)

Теперь найдем длину вектора b:

|b| = |c + 2d|

Аналогично:

|b| = √((c + 2d) · (c + 2d))

• |b| = √(c · c + 4c · d + 4d · d)

Подставим известные значения:

• |b| = √(1 + 4 * 0 + 4) = √(5)

Теперь мы можем найти косинус угла между векторами a и b:

cos(θ) = (a · b) / (|a| |b|)

Подставим все найденные значения:

• cos(θ) = -1 / (√2 * √5) = -1 / √10

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен:

cos(θ) = -1 / √10