Какой объем цилиндра, если длина окружности основания равна 12π см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол 30 градусов?

Геометрия 9 класс Объем цилиндра объём цилиндра длина окружности основания угол осевого сечения плоскость основания геометрические задачи Новый

Для нахождения объема цилиндра необходимо знать радиус основания и высоту. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Находим радиус основания цилиндра.

Длина окружности основания цилиндра (C) связана с радиусом (r) по формуле:

C = 2πr

В нашем случае длина окружности равна 12π см. Подставим это значение в формулу:

12π = 2πr

Теперь разделим обе стороны уравнения на 2π:

r = 12π / 2π = 6 см

Таким образом, радиус основания цилиндра равен 6 см.

Шаг 2: Находим высоту цилиндра.

Диагональ осевого сечения цилиндра образует угол 30 градусов с плоскостью основания. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольный треугольник, где:

• одна катета - это высота (h) цилиндра;
• другая катета - это радиус основания (r);
• гипотенуза - это диагональ (d).

Согласно определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

tan(угол) = противолежащий катет / прилежащий катет

В нашем случае:

tan(30°) = h / r

Зная, что tan(30°) = 1/√3, можем записать:

1/√3 = h / 6

Теперь выразим высоту (h):

h = 6 / √3

Для удобства можем умножить на √3/√3:

h = 6√3 / 3 = 2√3 см

Шаг 3: Находим объем цилиндра.

Объем (V) цилиндра вычисляется по формуле:

V = πr²h

Теперь подставим значения радиуса и высоты:

V = π(6)²(2√3) = π(36)(2√3) = 72√3π см³

Ответ:

Объем цилиндра составляет 72√3π см³.